Уравнение Гельмгольца

Решение уравнения Гельмгольца зависит от вида граничных условий. В двумерном случае уравнение Гельмгольца применяется для решения задачи о колеблющейся мембране, тогда естественным образом задаются однородные граничные условия, что физически соответствует закреплению мембраны на границе. В таком случае решение будет зависеть от формы мембраны. Так, для круглой мембраны радиуса ${\displaystyle a}$ в полярных координатах (${\displaystyle r,\,\varphi }$) уравнение принимает вид

${\displaystyle U_{rr}+{\frac {1}{r}}U_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}U_{\varphi \varphi }+k^{2}U=0,\qquad U(a,\varphi )=0.}$

Методом разделения переменных приходим к задаче на собственные значения для части решения, зависящей только от ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle U(r,\varphi )=R(r)\Phi (\varphi )}$,

${\displaystyle {\frac {\Phi ''}{\Phi }}=-\lambda ^{2}}$,

а функция, зависящая только от радиуса, будет удовлетворять уравнению

${\displaystyle \displaystyle r^{2}R''+rR'+R(r^{2}k^{2}-\lambda ^{2})=0}$.

Фундаментальными решениями уравнений для ${\displaystyle \Phi }$ и для ${\displaystyle R}$ являются, соответственно, функции ${\displaystyle \left\{\sin(\lambda \varphi ),\,\cos(\lambda \varphi )\right\}}$ и ${\displaystyle J_{\lambda }\left(\mu _{i}^{(\lambda )}\,a^{-1}r\right),}$ где ${\displaystyle \mu _{i}^{(\lambda )}}$ — ${\displaystyle i}$-й корень функции Бесселя ${\displaystyle \lambda }$-го порядка.

Рассмотрим уравнение Гельмгольца в пространстве обобщённых функций:

${\displaystyle \triangle U+k^{2}U=\delta (x).}$

Покажем, что в трёхмерном случае ${\displaystyle (x=(x_{1},x_{2},x_{3}))}$ фундаментальными решениями этого уравнения являются функции:

${\displaystyle U_{1}^{(3)}(x)=-{\frac {e^{ik|x|}}{4\pi |x|}},\qquad U_{2}^{(3)}=-{\frac {e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}}.}$

В самом деле, воспользуемся равенствами:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {1}{|x|}}=-{\frac {x_{j}}{|x|^{3}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}e^{ik|x|}={\frac {ikx_{j}}{|x|}}e^{ik|x|}}$

${\displaystyle \triangle e^{ik|x|}=\left({\frac {2ik}{|x|}}-k^{2}\right)e^{ik|x|}}$

и формулой, доказываемой в курсе математической физики:

${\displaystyle \triangle {\frac {1}{|x|}}=-{\frac {2\pi ^{3/2}}{\Gamma (3/2)}}\delta (x).}$

Получаем:

${\displaystyle (\triangle +k^{2}){\frac {1}{|x|}}e^{ik|x|}=e^{ik|x|}\triangle {\frac {1}{|x|}}+2\left(\operatorname {grad} \,\,e^{ik|x|},\operatorname {grad} {\frac {1}{|x|}}\right)+{\frac {1}{|x|}}\triangle e^{ik|x|}+{\frac {k^{2}}{|x|}}e^{ik|x|}=}$

${\displaystyle =-4\pi e^{ik|x|}\delta (x)+\left(-{\frac {2ik}{|x|^{2}}}+{\frac {2ik}{|x|^{2}}}-{\frac {k^{2}}{|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}\right)e^{ik|x|}=-4\pi \delta (x).}$ Прямыми вычислениями также проверяется, что в двумерном случае фундаментальным решением будут функции Ханкеля первого и второго рода:

${\displaystyle U_{1}^{(2)}=-{\frac {i}{4}}H_{0}^{(1)}(k|x|),\qquad U_{2}^{(2)}={\frac {i}{4}}H_{0}^{(2)}(k|x|),}$

а в одномерном:

${\displaystyle U_{1}^{(1)}(x)={\frac {e^{ik|x|}}{2ik}},\qquad U_{2}^{(1)}=-{\frac {e^{-ik|x|}}{2ik}}.}$