Сферический дизайн

Сферическая дизайн — набор из ${\displaystyle N}$ точек на d-мерной сфере ${\displaystyle \mathbb {S} ^{d}}$, такой, что среднее значение любого многочлена ${\displaystyle f}$ степени ${\displaystyle t}$ или меньше по точкам набора равно среднему значению ${\displaystyle f}$ по сфере. Эта конструкция даёт особый тип кубатурных формул.

Сферические дизайны полезны в теории приближений, в статистике для проектирования экспериментов, в комбинаторике и в геометрии. Основная вопрос в нахождении примеров для данных ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle t}$, при не слишком большом ${\displaystyle N}$.

Существование и структура дизайнов на окружности изучались Хонгом^[1]. Вскоре после этого Сеймур и Заславский^[2] доказали, существование дизайнов с достаточно большим числом точек. То есть при заданных натуральных числах ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle t}$ существует число ${\displaystyle N(d,t)}$, такое, что для каждого ${\displaystyle N\geqslant N(d,t)}$ на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{d}}$ найдётся сферический ${\displaystyle t}$-дизайн из ${\displaystyle N}$ точек. Однако их доказательство не позволяло явно оценить значение ${\displaystyle N(d,t)}$.

В 2013 году Бондаренко, Радченко и Вязовская ^[3] получили асимптотическую верхнюю границу ${\displaystyle N(d,t)<C_{d}t^{d}}$ для всех натуральных чисел ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle t}$. Она соответствует нижней границе, первоначально заданной Дельсартом, Геталсом и Зайделем.

• Задача Томсона

• Сферические t-дизайны для различных значений ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle t}$ можно найти на веб-сайте Нила Слоуна и Роберта Уомерсли.

• Bondarenko, Andriy; Radchenko, Danylo; Viazovska, Maryna (2013), Optimal asymptotic bounds for spherical designs, Annals of Mathematics, Second Series, 178 (2): 443–452, arXiv:1009.4407, doi:10.4007/annals.2013.178.2.2, MR 3071504, S2CID 2490453.
• Mimura, Yoshio (1990), A construction of spherical 2-design, Graphs and Combinatorics, 6 (4): 369–372, doi:10.1007/BF01787704, S2CID 28942727.
• Delsarte, P.; Goethals, J. M.; Seidel, J. J. (1977), Spherical codes and designs, Geometriae Dedicata, 6 (3): 363–388, doi:10.1007/BF03187604, MR 0485471, S2CID 125833142. Reprinted in Seidel, J. J. (1991), Geometry and combinatorics: Selected works of J. J. Seidel, Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-189420-7, MR 1116326.
• Hong, Yiming (1982), On spherical t-designs in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, European Journal of Combinatorics, 3 (3): 255–258, doi:10.1016/S0195-6698(82)80036-X, MR 0679209 {{citation}}: templatestyles stripmarker в |title= на позиции 14 (справка).
• Seymour, P. D.; Zaslavsky, Thomas (1984), Averaging sets: a generalization of mean values and spherical designs, Advances in Mathematics, 52 (3): 213–240, doi:10.1016/0001-8708(84)90022-7, MR 0744857.