Спектральная мера

Спектральная мера - это отображение, определённое на $\sigma$ -алгебре подмножеств заданного множества, значения которого являются ортогональными проекторами в гильбертовом пространстве.

Определение

Пусть $(X,M)$ — измеримое пространство, $H$ — гильбертово пространство, ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}(H)$ — множество всех ортогональных проекторов в $H$ .

Отображение $E:M\longrightarrow {\mathcal {P}}$ называется спектральной мерой, если удовлетворяет следующим условиям:

Счетная аддитивность: если $\{\delta _{n}\}$ - конечный или счётный набор попарно непересекающихся множеств $\{\delta _{n}\}\in M$ и $\delta =\bigcup _{n}\delta _{n}$ , то $E(\delta )=s$ - $\sum _{n}{E(\delta _{n})}$
Полнота: $E(X)=I$

Здесь под $s$ - $\lim$ и $s$ - $\sum$ понимается предел (соотв. сумма ряда) относительно сильной операторной топологии. Например, $T=s$ - $\lim T_{n}$ означает, что $Tx=\lim T_{n}x$ $\forall x\in H$ . Для обозначения равномерной операторной сходимости (т.е. сходимости по операторной норме) мы пишем $u$ - $\lim$ .

С каждой спектральной мерой $E$ можно связать скалярные меры $E_{x,y}$ , $x,y\in H$ . По определению $E_{x,y}(A)=\langle E(A)x,y\rangle$ . Легко видеть, что мера $E_{x,x}$ положительна для любого $x\in H$ .

Свойства спектральной меры

$\{\delta _{n}\},n=1,2,...$ , - последовательность измеримых множеств.

Коммутативность: $E(\delta _{1})E(\delta _{2})=E(\delta _{2})E(\delta _{1})=E(\delta _{1}\cap \delta _{2})$ .
Ортогональность: если $\delta _{1}\cap \delta _{2}=\varnothing$ , то $E(\delta _{1})E(\delta _{2})=0$ .
Монотонность: если $\delta _{1}\subset \delta _{2}$ , то $E(\delta _{1})\leqslant E(\delta _{2})$ .
Если последовательность $\{\delta _{n}\}$ - расширяющаяся, то $s$ - $\lim _{n\to \infty }E(\delta _{n})=E(\bigcup _{n}\delta _{n})$ .
Если последовательность $\{\delta _{n}\}$ - вложенная, то $s$ - $\lim _{n\to \infty }E(\delta _{n})=E(\bigcap _{n}\delta _{n})$ .

Интеграл по спектральной мере

Пусть $(X,M,H,E)$ - пространство со спектральной мерой.

Случай ограниченной функции

$\Pi =\Pi (X,E)$ - множество всех $E$ -измеримых простых функций на $X$ .

$\delta _{1},...,\delta _{n}$ - разложение пространства $X$ на непересекающиеся подмножества, на которых функция $\varphi \in \Pi$ постоянна и $c_{k}$ - значение функции $\varphi$ на $\delta _{k}$ .

Интегралом от функции $\varphi \in \Pi$ по спектральной мере $E$ называется оператор $J_{\varphi }=\int \varphi dE=\sum _{k\leqslant n}c_{k}E(\delta _{k})$ .

Свойства:

$\langle J_{\varphi }(x),y\rangle =\int \varphi dE_{x,y}$ для любых $x,y\in H$ . Этим свойством оператор $J_{\varphi }$ определяется однозначно.
$J_{\alpha \varphi +\beta \psi }=\alpha J_{\varphi }+\beta J_{\psi }$ .
$J_{\varphi \psi }=J_{\varphi }J_{\psi }=J_{\psi }J_{\varphi }$ .
$(J_{\varphi })^{*}=J_{\overline {\varphi }}$ .
$J_{1}=I$ .
$||J_{\varphi }||=E$ - $sup|\varphi |$ .

$L_{\infty }(X,E)$ - множество всех $E$ -измеримых, $E$ -ограниченных комплексных функций на $X$ . Продолжим отображение ${\textbf {J}}\varphi =J_{\varphi }$ с нормированной алгебры $\Pi (X,E)$ на всей банаховой алгебры $L_{\infty }(X,E)$ .

Интегралом от функции $\varphi \in L_{\infty }(X,E)$ по спектральной мере $E$ называется значение продолженного отображения ${\textbf {J}}$ на функции $\varphi :J_{\varphi }=\int \varphi dE=u$ - $\lim J_{\varphi _{n}}$ , где $\{\varphi _{n}\}$ - произвольная последовательность простых функций, сходящаяся к $\varphi$ по норме в $L_{\infty }(X,E)$ .

Теорема. Отображение ${\textbf {J}}$ есть изометрический изоморфизм банаховой алгебры $L_{\infty }(X,E)$ с единицей ${\textbf {1}}$ и инволюцией $\varphi \longrightarrow {\bar {\varphi }}$ на некоторую коммутативную подалгебру алгебры ${\textbf {B}}(H)$ с единицей $I$ и инволюцией $T\longrightarrow T^{*}$ .

Следствия:

Оператор $J_{\varphi }$ нормален.
Оператор $J_{\varphi }$ самосопряжен $\Leftrightarrow$ $E$ -п.в. функция $\varphi$ вещественна.
Оператор $J_{\varphi }$ унитарен $\Leftrightarrow$ $E$ -п.в. функция $|\varphi (y)|=1$ .

Для интеграла по спектральной мере имеет место аналог теоремы Лебега о мажорированной сходимости:

Теорема. Пусть последовательность $E$ -ограниченных функций $f_{n}$ почти всюду сходится к функции $f$ . Если найдется такая константа $C>0$ , что $|f_{n}|\leq C$ почти всюду для любого $n$ , то $\int fdE=s{\text{-}}\lim \int f_{n}dE$ .

Случай неограниченной функции

$S(X,E)$ - пространство всех $E$ -измеримых, $E$ -п.в. конечных функций на $X$ .

Каждой функции $\varphi \in S(X,E)$ и каждому $n\in \mathbb {N}$ сопоставим срезку $\varphi _{(n)}$ , определенную как $\chi _{A}\varphi$ , где $\chi _{A}$ - характеристическая функция множества $A=\{x\in X:|\phi (x)|\leq n\}$ . Интегралом от $\varphi \in S(X,E)$ по спектральной мере $E$ назовем оператор $J_{\varphi }=\int \varphi dE$ , определенный как предел последовательности $\int \varphi _{(n)}dE$ . Более точно, областью определения оператора $J_{\varphi }$ служит множество таких $x\in H$ , что последовательность $J_{\varphi _{(n)}}(x)$ сходится, а значением - предел этой последовательности.

Имеется эквивалентное определение: в качестве области определения оператора $J_{\varphi }$ положим множество $D_{\varphi }\subset H,D_{\varphi }=\{f\in H:\int |\varphi |^{2}d\mu _{f}<\infty \}$ . Для каждого $x\in D_{\varphi }$ найдется единственный $y\in H$ удовлетворяющий равенству $\langle y,z\rangle =\int \varphi dE_{x,z}$ для всех $z\in H$ , который по определению служит значением $J_{\varphi }(x)$ .

Свойства:

$D(\alpha J_{\varphi }+\beta J_{\psi })=D_{\varphi }\cap D_{\psi }$ .
$\alpha J_{\varphi }+\beta J_{\psi }\subset J_{\alpha \varphi +\beta \psi }$ .
$D(J_{\varphi }J_{\psi })=D_{\varphi \psi }\cap D_{\psi }$ .
$J_{\varphi }J_{\psi }\subset J_{\varphi \psi }$ .
$D(J_{\varphi }^{*})=D_{\varphi }$ .
$J_{\varphi }^{*}=J_{\overline {\varphi }}$ .
Оператор $J_{\varphi }$ замкнут и нормален.
${\overline {\alpha J_{\varphi }+\beta J_{\psi }}}=J_{\alpha \varphi +\beta \psi }$ .
${\overline {J_{\varphi }J_{\psi }}}={\overline {J_{\psi }J_{\varphi }}}=J_{\varphi \psi }$ .

Спектральная теорема фон Неймана

Спектральная теорема для унитарного оператора

Теорема. Пусть $V$ - унитарный оператор в $H$ , тогда существует единственная спектральная мера $F=F_{V}$ в $H$ , определенная на борелевских подмножествах единичной окружности $\mathbb {T}$ такая, что $V=\int _{\mathbb {T} }zdF(z)$ .

Спектральная теорема для самосопряжённого оператора

Теорема. Пусть $A$ - самосопряженный оператор в $H$ , тогда существует единственная спектральная мера $E=E_{A}$ в $H$ , определённая на борелевских подмножествах в $\mathbb {R}$ такая, что $A=\int _{\mathbb {R} }sdE(s)$ .

Спектральная теорема для нормального оператора

Теорема. Пусть $T$ - нормальный оператор в $H$ , тогда существует единственная спектральная мера $E=E_{T}$ в $H$ , определенная на борелевских подмножествах в $\mathbb {C}$ такая, что $T=\int _{\mathbb {C} }zdE(z)$ .

Применения к эволюционным уравнениям в гильбертовом пространстве

Уравнение Шредингера: ${\frac {du}{dt}}+iAu=0$ с начальным условием $u(0)=f$ , где $A$ - самосопряженный оператор. Решением будет $u(t)=U(t)f$ , где $U(t)=e^{-iAt}=\int e^{-ist}dE(s)$ , $E=E_{A}$ - спектральная мера оператора $A$ .
Параболическое уравнение: ${\frac {du}{dt}}+Au=0$ с начальным условием $u(0)=f$ , где $A$ - самосопряженный положительный оператор. Решением будет $u(t)=T(t)f$ , где $T(t)=e^{-At}=\int e^{-st}dE(s)$ , $E=E_{A}$ - спектральная мера оператора $A$ .

Литература

М. Ш. Бирман М. З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — Лань, 2010. — 458 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-8114-1076-7.
У. Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 443 с.

См. также

Спектральная теорема