Полупространство

Полупространство^{[комм 1]} — множество всех точек ${\displaystyle M}$ трёхмерного пространства, которые находятся по ту же сторону от некоторой плоскости ${\displaystyle P}$, что и некоторая заданная точка ${\displaystyle A}$ вне плоскости, то есть полупространство — это точка ${\displaystyle A}$ и множество всех точек ${\displaystyle M}$ таких, что отрезок ${\displaystyle AM}$ не имеет общих точек с плоскостью ${\displaystyle P}$^[13][14]. Эта плоскость определяет полупространство^[4] и является её границей^[1][2][3].

Теорема 1. Произвольная плоскость ${\displaystyle P}$ в трёхмерном пространстве делит это пространство на две полупространства. Более формально: в пространстве существуют точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ вне плоскости ${\displaystyle P}$ такие, что разные полупространства, которым принадлежат эти точки, заполняют с плоскостью ${\displaystyle P}$ всё пространство и имеют своими границами ${\displaystyle P}$^[13].

Положительное полупространство — выбранное одно из двух полупространств с общей границей, второе полупространство называется отрицательным. При этом граничная плоскость имеет выбранную сторону со стороны положительного полупространства^[15].

Теорема 2. Среди трёх объектов, определяющих ориентацию:

• ориентация плоскости,
• сторона плоскости,
• ориентация трёхмерного пространства —

любые два однозначно определяют третий^[16].

Обоснуем геометрическое определение трёхмерного полупространства в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Рассмотрим произвольную плоскость, заданную следующим уравнением^[17]:

${\displaystyle L(x,\ y,\ z)=Ax+By+Cz+D=0}$.

Точки, неразделённые плоскостью — две точки ${\displaystyle M_{1}(x_{1},\ y_{1},\ z_{1})}$ и ${\displaystyle M_{2}(x_{2},\ y_{2},\ z_{2})}$ вне плоскости ${\displaystyle L(x,\ y,\ z)}$, ${\displaystyle M_{1},\ M_{2}\notin L}$, которые либо совпадают, ${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$, либо отрезок ${\displaystyle M_{1}M_{2}}$ не имеет общих точек с плоскостью ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle M_{1}M_{2}\cup L=\varnothing }$^[17].

Предложение 1. Две точки ${\displaystyle M_{1}(x_{1},\ y_{1},\ z_{1})}$ и ${\displaystyle M_{2}(x_{2},\ y_{2},\ z_{2})}$ вне плоскости ${\displaystyle L(x,\ y,\ z)}$, ${\displaystyle M_{1},\ M_{2}\notin L}$, неразделены тогда и только тогда, когда не равные нулю числа ${\displaystyle L_{1}=L(x_{1},\ y_{1},\ z_{1})}$ и ${\displaystyle L_{2}=L(x_{2},\ y_{2},\ z_{2})}$ одного знака^[17].

Следствие 1. Описанное выше отношение неразделённости точек плоскостью есть отношение эквивалентности, причём соответствующих классов эквивалентности ровно два^[14].

Полупространство — класс эквивалентности отношения неразделённости точек некоторой плоскостью. Эта плоскость определяет полупространство^[14].

Рассмотрим два чисто математических примера^[18].

Набор всех кругов на плоскости образует трёхмерное многообразие, потому что в нём любой круг с центром ${\displaystyle (x,\,y)}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ изображается точкой с координатами ${\displaystyle (x,\,y,\,r)}$. А поскольку радиус круга — это положительное число, то набор рассматриваемых точек заполнит «верхнее» полупространство^[18].

Точно так же набор всех сфер в обыкновенном трёхмерном пространстве образует четырёхмерное многообразие, потому что в нём любая сфера с центром ${\displaystyle (x,\,y,\,z)}$ и радиусом ${\displaystyle r}$ представляется точкой с координатами ${\displaystyle (x,\,y,\,z,\,r)}$. А поскольку радиус круга — это положительное число, то набор рассматриваемых точек заполнит «верхнее» полупространство^[18].

• Полупространства
• 
  Все круги на плоскости образуют трёхмерное полупространство с координатами ${\displaystyle (x,\,y,\,r)}$
• 
  Все сферы в трёхмерном пространстве образуют четырёхмерное полупространство с координатами ${\displaystyle (x,\,y,\,z,\,r)}$

В общем трёхмерном случае в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с декартовыми координатами ${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,x_{3})}$ координаты точек ${\displaystyle 3}$-мерного полупространства^{[комм 1]} отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение плоскости

${\displaystyle Ax+By+Cz+D>0}$,

где ${\displaystyle A,\,B,\,C,\,D}$ — постоянные, причём ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ одновременно не равны нулю^[1][2][4].

Граница полупространства — плоскость, определяющая полупространство. В определении это плоскость

${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0}$^[1][2].

Обычно рассматриваются следующие частные случаи полупространств^{[комм 1][19]}:

• координатная плоскость ${\displaystyle Oxy}$ имеет уравнение с аппликатой ${\displaystyle z=0}$ и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства ${\displaystyle z>0}$ и ${\displaystyle z<0}$ с границей ${\displaystyle Oxy}$;
• координатная плоскость ${\displaystyle Oxz}$ имеет уравнение с ординатой ${\displaystyle y=0}$ и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства ${\displaystyle y>0}$ и ${\displaystyle y<0}$ с границей ${\displaystyle Oxz}$;
• координатная плоскость ${\displaystyle Oyz}$ имеет уравнение с абсциссой ${\displaystyle x=0}$ и разделяет трёхмерное пространство на два полупространства ${\displaystyle x>0}$ и ${\displaystyle x<0}$ с границей ${\displaystyle Oyz}$;

Перейдём к ${\displaystyle n}$-мерному пространству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с декартовыми координатами ${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})}$. Здесь координаты точек ${\displaystyle n}$-мерного полупространства отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение гиперплоскости

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b>0}$,

где ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n},\,b}$ — постоянные, причём ${\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n}}$ одновременно не равны нулю^[4].

Обычно рассматриваются следующие частные случаи полупространств^{[комм 1][9]}:

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\colon \,x_{n}>0\}}$

с границами

${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{n-1}=\{(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\colon \,x_{n}=0\}.}$

В векторной нотации уравнение полупространства^{[комм 1]} с границей, проходящей через заданную точку ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$, записывается через скалярное произведение векторов как

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\,\mathbf {x} )>(\mathbf {a} ,\,\mathbf {x} _{0})}$,

или

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\,\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})>0}$,

где ${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$ — произвольный ненулевой вектор, параллельный нормали к полуплоскости

${\displaystyle (\mathbf {a} ,\,\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})=0}$

в точке ${\displaystyle x_{0}}$, приячём вектор ${\displaystyle \mathbf {a} }$ направлен от точки ${\displaystyle x_{0}}$ в сторону полупространства. Указанная полуплоскость есть граница полупространства^[20].

Полупространство^{[комм 1]} банахова пространства — одно из множеств точек

${\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{+}=\{x\in \mathbb {E} \colon \,\lambda (x)>0\}}$,

${\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{-}=\{x\in \mathbb {E} \colon \,\lambda (x)<0\}}$,

где ${\displaystyle \mathbb {E} }$ — банахово пространство, а ${\displaystyle \lambda (x)\colon \,\mathbb {E} \to \mathbb {R} }$ — непрерывное линейное отображение (функционал на ${\displaystyle \mathbb {E} }$), при этом ядро линейного отображения ${\displaystyle \lambda (x)}$, на котором ${\displaystyle \lambda (x)=0}$, называется гиперплоскостью ${\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{0}}$ банахова пространства ${\displaystyle \mathbb {E} }$^[8].

Теорема 1. Если ${\displaystyle \mu (x)\colon \,\mathbb {E} \to \mathbb {R} }$ — другой функционал, причём ${\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{+}=\mathbb {E} _{\mu }^{+}}$, то найдётся такое число ${\displaystyle c>0}$, ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, что ${\displaystyle \lambda =c\mu }$^[8].

Доказательство. Ядра ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$ совпадают как границы ${\displaystyle \mathbb {E} _{\lambda }^{0}=\mathbb {E} _{\mu }^{0}}$ совпадающих полуплоскостей. Пусть теперь ${\displaystyle \lambda \neq 0}$, и положим ${\displaystyle \lambda (x_{0})>0}$, ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {E} _{\lambda }^{+}}$. Тогда и ${\displaystyle \mu (x_{0})>0}$, так как полуплоскости совпадают. Сконструируем функционал

${\displaystyle \lambda (x)-{\frac {\lambda (x_{0})}{\mu (x_{0})}}\mu (x)}$,

который обращается в нуль как на ядрах функционалов ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$, так и на векторе ${\displaystyle x_{0}}$. Следовательно, этот функционал тождественно равен нулю и ${\displaystyle c={\frac {\lambda (x_{0})}{\mu (x_{0})}}}$^[8].

1. 1 2 3 4 5 6 7 8 Перевод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи.

1. 1 2 3 4 5 6 Полупространство. БСЭ 3, 1975.
2. 1 2 3 4 5 6 Полупространство. МЭС, 1988.
3. 1 2 3 4 Рохлин В. А. Площадь и объём, 1966, 2.1. Внутренние, внешние и граничные точки, с. 13—14, 65.
4. 1 2 3 4 Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?, 2015, Глава IV. Проективная геометрия… Приложение…, с. 255.
5. ↑ Киселёв М. А. Элементарная геометрия, 1980, 304. Определения, с. 182.
6. ↑ Понарин Я. П. Планиметрия, преобразования плоскости, 2004, 12.2. Следствия из общих формул площади четырехугольника, с. 91.
7. ↑ Рохлин В. А. Площадь и объём, 1966, 7.2. Класс многогранных тел, с. 67.
8. 1 2 3 4 Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий, 1967, Глава II. Многообразия. Приложение. Многообразия с краем, с. 50.
9. 1 2 Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, 2000, Глава 4. Гладкие многообразия (примеры). § 5. Классификация двумерных поверхностей, с. 253.
10. ↑ Рохлин В. А. Площадь и объём, 1966, 2.2. Открытые и замкнутые множества, с. 16.
11. ↑ Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры и тела, 1966, 1.1. Определение. Примеры, с. 182.
12. ↑ Болтянский В. Г., Яглом И. М. Выпуклые фигуры и тела, 1966, 3.2. Выпуклые многосторонники и многогранники, с. 212.
13. 1 2 Розенфельд Б. А. Аксиомы и основные понятия геометрии, 1963, 6.3. Аксиомы порядка, с. 36.
14. 1 2 3 4 Постников М. М. Лекции по геометрии. 1. Аналитическая геометрия, 1979, Лекция 10. Полупространтва…, с. 81.
15. ↑ Постников М. М. Аналитическая геометрия, 1973, Глава 1. Векторное исчисление. §* 4.4. Стороны…, с. 70.
16. ↑ Постников М. М. Лекции по геометрии. 1. Аналитическая геометрия, 1979, Лекция 11. Формулы преобразования…, с. 103.
17. 1 2 3 Постников М. М. Лекции по геометрии. 1. Аналитическая геометрия, 1979, Лекция 10. Полупространтва…, с. 80.
18. 1 2 3 Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?, 2015, Глава IV. Проективная геометрия… Приложение…, с. 256.
19. ↑ Постников М. М. Аналитическая геометрия, 1973, Глава 2. Метод координат. §* 1.1. Аффинные координаты, с. 168.
20. ↑ Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964, 13.1. Определение выпуклой области, с. 131.
21. ↑ Пятецкий-Шапиро И. И. Геометрия классических областей и теория автоморфных функций, 1961, § 1.3. Области Зигеля 1-го рода, с. 18.
22. 1 2 3 Винберг Э. Б. Зигеля область, 1979.
23. ↑ Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several complex variables, 2011, Exercise 5.19, p. 103.
24. ↑ Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, 1951, 2 Subharmonicityand Its Applications. Exercises, p. 112.